Mögliche Welten, notwendige Wahrheiten und anderer philosophischer Größenwahn (Kripke Modallogik)

Mögliche Welten, Erreichbarkeitsrelationen und die Frage, was wirklich notwendig ist.

Wie Saul Kripke der Modallogik beibrachte, über Möglichkeit zu reden, ohne dabei den Verstand zu verlieren

1. Wenn Philosophen das Wort „möglich“ entdecken

Manche Wörter sind gefährlicher, als sie aussehen. „Möglich“ gehört dazu. Es klingt harmlos, beinahe bescheiden. Doch sobald Philosophen damit anfangen, wird aus einem kleinen Wort ein metaphysischer Großbrand. Plötzlich geht es um notwendige Wahrheiten, mögliche Welten, die Identität von Dingen und die Frage, ob etwas auch anders hätte sein können.

Man nehme den Satz: „Es hätte anders kommen können.“ Klingt plausibel. Aber was genau bedeutet das? Anders als tatsächlich? Unter welchen Bedingungen? In welcher alternativen Welt? Und woran erkennt man, ob eine solche Welt überhaupt möglich ist?

Die klassische Modallogik hatte längst Symbole für diese Fragen entwickelt. Mit □ für „notwendig“ und ◇ für „möglich“ ließ sich elegant formulieren:

□p = p ist notwendig.

◇p = p ist möglich.

Dabei gilt in der üblichen dualen Modallogik:

◇p ↔ ¬□¬p

Etwas ist möglich, wenn sein Gegenteil nicht notwendig ist.

Das klingt zunächst übersichtlich. Doch eine Notation ist noch keine Erklärung. Wer □ auf ein Blatt Papier schreibt, hat damit noch lange nicht verstanden, was Notwendigkeit bedeutet. Auch ein Totenkopf auf einer Flasche erklärt schließlich nicht die Chemie des Inhalts.

Wer zunächst die Grundlagen formaler Schlussfolgerungen verstehen möchte, findet im Beitrag „Die Axiome der Aussagenlogik – Warum selbst die Logik Regeln braucht“ einen Einstieg in die formalen Voraussetzungen logischen Schließens.

Hier kommt Saul Kripke ins Spiel. Der amerikanische Logiker und Philosoph entwickelte in den 1950er- und 1960er-Jahren eine einflussreiche Semantik für Modallogiken. Seine entscheidende Leistung bestand darin, die formale Bedeutung modaler Aussagen systematisch über mögliche Welten und deren Beziehungen zu erklären.

2. Mögliche Welten: keine Paralleluniversen für philosophische Urlauber

Der Ausdruck „mögliche Welten“ klingt, als müsse man nur lange genug meditieren, um irgendwann in einem Universum aufzuwachen, in dem man reich, berühmt und von den eigenen Verwandten für genial gehalten wird.

Das ist nicht gemeint.

In Kripkes Semantik sind mögliche Welten zunächst Bestandteile eines mathematischen Modells. Sie dienen dazu, Wahrheitsbedingungen für modale Aussagen zu definieren. Ob solche Welten metaphysisch eigenständig existieren, ist eine weitere Frage. Die Semantik allein entscheidet diesen Streit nicht.

Ein Kripke-Modell lässt sich darstellen als:

M = (W, R, V)

Dabei bezeichnet:

• W die Menge möglicher Welten.

• R die Erreichbarkeitsrelation zwischen Welten.

• V die Bewertungsfunktion, die Aussagen Atome zuordnet, die in bestimmten Welten wahr sind.

Die Erreichbarkeitsrelation R legt fest, welche Welten bei der Bewertung modaler Aussagen berücksichtigt werden. Je nach Modallogik kann sie unterschiedliche Eigenschaften besitzen.

Die Grundidee ist verblüffend einfach: Eine Aussage ist notwendig, wenn sie in allen relevanten erreichbaren Welten wahr ist. Sie ist möglich, wenn sie in mindestens einer solchen Welt wahr ist.

Formal:

M, w ⊨ □p genau dann, wenn für alle Welten v gilt: Wenn wRv, dann M, v ⊨ p.

M, w ⊨ ◇p genau dann, wenn es mindestens eine Welt v gibt, für die gilt: wRv und M, v ⊨ p.

In normalem Deutsch: Notwendigkeit verlangt Wahrheit in allen zugänglichen Welten; Möglichkeit verlangt Wahrheit in wenigstens einer.

Damit wird aus einer philosophischen Intuition eine präzise Semantik. Der Nebel verschwindet zwar nicht vollständig, aber man kann jetzt wenigstens feststellen, an welcher Stelle er sich versteckt.

Wer sich mit der philosophischen Bedeutung solcher Aussagen intensiver beschäftigen möchte, findet im Beitrag „Intensionale Logik: Warum ein Satz nicht immer dasselbe bedeutet“ eine thematisch passende Ergänzung.

3. Die Erreichbarkeitsrelation: Nicht jede Fantasie darf mitspielen

Die entscheidende Frage lautet nun: Welche Welten sind überhaupt erreichbar?

Hier liegt eine der großen Stärken von Kripkes Ansatz. Die Antwort wird nicht pauschal vorausgesetzt, sondern durch die Struktur des Modells bestimmt. Unterschiedliche Eigenschaften von R entsprechen unterschiedlichen modallogischen Systemen.

Ist R reflexiv, gilt:

∀w ∈ W: wRw.

Jede Welt ist also für sich selbst erreichbar. Daraus folgt die Gültigkeit des Axioms T:

□p → p

Was notwendig ist, ist auch tatsächlich wahr.

Ist R transitiv, gilt:

Wenn wRv und vRu, dann wRu.

Dies entspricht der charakteristischen Rahmenbedingung des Systems K4. In Verbindung mit weiteren Voraussetzungen lassen sich stärkere modallogische Systeme charakterisieren.

Ist R symmetrisch, gilt:

Wenn wRv, dann vRw.

Sind schließlich alle Welten gegenseitig erreichbar, verhält sich das Modell hinsichtlich der Erreichbarkeit wie das universelle S5-Modell.

Die Pointe: Nicht jede Modallogik benötigt dieselbe Vorstellung davon, was möglich ist. Die formalen Eigenschaften der Relation bestimmen mit, welche modalen Schlussfolgerungen gültig sind.

Die formalen Einzelheiten und weitere Beispiele erläutert die wissenschaftliche Übersicht „Modal Logic“ der Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Das ist erheblich sauberer, als im philosophischen Seminar einfach „Das muss doch irgendwie möglich sein“ zu murmeln und anschließend die eigene Intuition zum Naturgesetz zu befördern.

Allerdings ist Vorsicht geboten: Nicht jede plausible Eigenschaft von R passt zu jeder Interpretation von Möglichkeit. Logische, metaphysische, epistemische und normative Modalität sind nicht automatisch dasselbe. Wer sie munter vermischt, betreibt keine Tiefenphilosophie, sondern begrifflichen Mischbetrieb.

4. Notwendig ist nicht dasselbe wie zufällig immer wahr

Nehmen wir die Aussage:

p = „Es regnet heute.“

Sie kann in der tatsächlichen Welt wahr sein, ohne notwendig wahr zu sein. In einer anderen erreichbaren Welt regnet es vielleicht nicht.

Dann gilt in der tatsächlichen Welt w:

M, w ⊨ p

aber möglicherweise:

M, w ⊭ □p

Die Aussage ist wahr, aber nicht notwendig wahr.

Das ist der Unterschied zwischen Wahrheit und Notwendigkeit. Eine Aussage kann tatsächlich zutreffen, ohne unter allen relevanten Möglichkeiten zutreffen zu müssen.

Umgekehrt lässt sich mit der Modallogik untersuchen, ob eine Aussage in keiner erreichbaren Welt falsch sein kann. Das ist allerdings immer relativ zur gewählten Semantik. Wer die Erreichbarkeitsrelation verändert, verändert unter Umständen auch, was als notwendig gilt.

Und damit ist ein beliebter philosophischer Taschenspielertrick erledigt: Aus der Tatsache, dass etwas der Fall ist, folgt nicht, dass es so sein muss.

p ⊭ □p

Die tatsächliche Wahrheit von p allein garantiert nicht seine Notwendigkeit.

Man könnte meinen, das sei selbstverständlich. Doch ganze Weltanschauungen leben davon, dass Menschen Gewohnheit mit Notwendigkeit verwechseln. Was immer so war, soll angeblich immer so sein müssen. Was gegenwärtig existiert, wird kurzerhand zur einzig möglichen Ordnung erklärt.

Kripkes Semantik beweist nicht, dass solche Überzeugungen falsch sind. Sie zwingt uns aber, die entscheidende Frage zu stellen: In welchen Welten soll die behauptete Notwendigkeit eigentlich gelten?

5. Kripke und die Grenzen bloßer Intuition

Kripkes Bedeutung reicht über die technische Semantik hinaus. In seiner späteren Philosophie unterscheidet er unter anderem zwischen Notwendigkeit und Apriorität sowie zwischen Kontingenz und Aposteriorität.

Diese Unterscheidungen sind wichtig, weil Menschen gern verschiedene Kategorien zu einem einzigen philosophischen Brei verrühren.

Eine Aussage ist a priori erkennbar, wenn sie unabhängig von Erfahrung erkannt werden kann. Eine Aussage ist notwendig, wenn sie nicht anders wahr sein kann. Das sind unterschiedliche Begriffe.

Kripke argumentierte beispielsweise, dass bestimmte Identitätsaussagen notwendig, aber erst empirisch erkennbar sein können. Ein bekanntes Beispiel ist die Identität von Wasser und H₂O: Wenn Wasser tatsächlich H₂O ist, dann gilt diese Identität nach seiner Auffassung notwendig, obwohl ihre Erkenntnis chemische Forschung voraussetzt.

Die Grundidee lässt sich so ausdrücken:

Notwendig ≠ a priori

Ebenso gilt:

Kontingent ≠ a posteriori

Die Begriffe hängen zusammen, sind aber nicht synonym.

Damit greift Kripke eine tief verwurzelte philosophische Gewohnheit an: die Annahme, dass alles Notwendige allein durch Nachdenken erkennbar sein müsse und alles empirisch Erkannte auch anders sein könnte.

Seine Argumente machen deutlich, dass die Grenzen zwischen Logik, Erkenntnistheorie und Metaphysik sorgfältiger gezogen werden müssen. Nicht jede notwendige Wahrheit ist schon deshalb offensichtlich. Und nicht jede empirische Entdeckung eröffnet automatisch alternative Möglichkeiten.

6. Was Kripke nicht bewiesen hat

Bei aller Bewunderung sollte man den Philosophen nicht selbst auf einen Sockel stellen. Das wäre ausgerechnet jene Denkfaulheit, gegen die eine präzise Modallogik immunisieren sollte.

Kripkes Semantik ist ein mächtiges Instrument zur Untersuchung modaler Aussagen. Sie zeigt, wie sich Notwendigkeit und Möglichkeit formal modellieren lassen. Sie beweist aber nicht, dass mögliche Welten als eigenständige Universen existieren. Ebenso wenig entscheidet sie automatisch, welche Aussagen metaphysisch notwendig sind.

Ein formales Modell kann präzise sein, während seine philosophische Interpretation umstritten bleibt.

M ⊨ □p bedeutet, dass p in allen im Modell relevanten Welten wahr ist. Ob diese Welten die metaphysische Wirklichkeit angemessen abbilden, ist eine zusätzliche Frage.

Wer sich mit den Grenzen formaler Systeme beschäftigen möchte, findet im Beitrag „Gödels Unvollständigkeitssätze – Warum selbst die Mathematik nicht alles beweisen kann“ ein verwandtes Beispiel dafür, wie präzise mathematische Aussagen von ihren Voraussetzungen abhängen.

Die Unterscheidung zwischen formaler Gültigkeit und philosophischer Angemessenheit ist entscheidend. Wer sie ignoriert, verwechselt die Landkarte mit dem Gelände und erklärt anschließend die Landschaft für falsch, weil sie nicht auf das Papier passt.

7. Die eigentliche Lektion: Präzision statt metaphysischer Nebel

Kripkes semantische Klärung der Modallogik ist mehr als ein technischer Fortschritt. Sie ist eine Lektion im Denken.

Wer behauptet, etwas sei notwendig, muss unterscheiden, ob er logische, metaphysische, physikalische oder bloß praktische Notwendigkeit meint. Wer etwas für möglich hält, muss klären, welche Alternativen zugelassen sind. Und wer aus einer Tatsache eine Unvermeidlichkeit ableitet, sollte zunächst erklären, warum keine relevante Alternative bestehen kann.

Die Grundregeln sind unspektakulär:

p ↛ □p

Aus Wahrheit folgt nicht automatisch Notwendigkeit.

◇p ↛ p

Aus Möglichkeit folgt nicht automatisch Wirklichkeit.

□p ↔ ¬◇¬p

Notwendigkeit und Möglichkeit hängen über die Negation zusammen.

Kripke hat nicht jede metaphysische Frage beantwortet. Er hat etwas für ernsthaftes Denken womöglich Wertvolleres geleistet: Er hat gezeigt, wie man bestimmte Fragen so formuliert, dass ihre Voraussetzungen sichtbar werden und ihre Antworten überprüfbar sind.

Das ist unbequem. Besonders für jene, die ihre Überzeugungen gern als alternativlos verkaufen, ihre Vorurteile für Naturgesetze halten und jede Nachfrage als Angriff auf die eigene geistige Souveränität verstehen.

Denn sobald man zwischen Wahrheit, Möglichkeit und Notwendigkeit unterscheidet, wird aus dem Satz „Es kann gar nicht anders sein“ eine Behauptung, die begründet werden muss.

Und plötzlich steht der selbst ernannte Sachzwang ohne rhetorische Uniform da.

Die respektlose Schlussfrage lautet deshalb: Ist etwas wirklich notwendig – oder hast du nur noch nie ernsthaft geprüft, was dagegen sprechen könnte?